Переход от условных вероятностей к оператору плотности

Квантовая система находится в одном из $M$ различных нормированных состояний $|\psi_m\rangle$ с классическими вероятностями $p_m\ge0$, $\sum_m p_m=1$. (a) Наблюдаемая $O$ имеет различные собственные значения $o_n$ и полный ортонормированный набор собственных кетов $|o_n\rangle$. Используя $P(o_n|\psi_m)=|\langle o_n|\psi_m\rangle|^2$, найдите безусловную вероятность $P(o_n)$. (b) Введите $\rho=\sum_m p_m|\psi_m\rangle\langle\psi_m|$. Покажите эрмитовость $\rho$ и $P(o_n)=\langle o_n|\rho|o_n\rangle$. (c) Докажите $\langle O\rangle=\sum_n o_nP(o_n)=\operatorname{tr}(\rho O)$. След определяется как сумма диагональных элементов в любом полном ортонормированном базисе.