Собственные значения оператора плотности и чистота

Рассмотрим эрмитов оператор плотности $\rho$ со счётным полным ортонормированным набором собственных кетов $|\rho_n\rangle$ и значениями $\rho_n$. (a) Покажите, что $0\le\rho_n\le1$ и $\sum_n\rho_n=1$. (b) Покажите, что $\operatorname{tr}\rho=1$ для любого оператора плотности. (c) Для системы в известном состоянии $|\psi\rangle$ покажите, что можно положить $\rho_1=1$, $|\rho_1\rangle=|\psi\rangle$ и все прочие собственные значения нулевыми. Докажите $\operatorname{tr}(\rho^2)=1$. (d) Если ненулевых собственных значений не меньше двух, состояние называется смешанным. Покажите, что тогда $\operatorname{tr}(\rho^2)<1$.