Матрица плотности одиночного фотона

Поляризация одного фотона частоты $\omega$, летящего вдоль $+z$, записывается в горизонтально-вертикальном базисе как $|i\rangle=(\alpha_x,\alpha_y)^T$, $|\alpha_x|^2+|\alpha_y|^2=1$. Измеряем в базисе $|i^\prime\rangle=(\alpha_x^\prime,\alpha_y^\prime)^T$, $|i^\prime_\perp\rangle=(\alpha_y^{\prime *},-\alpha_x^{\prime *})^T$, где $|i^\prime\rangle$ нормирован. Вероятности для чистого состояния равны квадратам модулей перекрытий. (a) Проверьте, что $\rho=|i\rangle\langle i|$ даёт те же вероятности через диагональные матричные элементы. (b) Пусть амплитуды случайны с совместной плотностью $p(\alpha_x,\alpha_y)$ и указанной нормировкой с вероятностью 1. Проверьте, что матрица с диагональными элементами $\langle|\alpha_x|^2\rangle,\langle|\alpha_y|^2\rangle$ и недиагональными $\langle\alpha_x\alpha_y^*\rangle,\langle\alpha_x^*\alpha_y\rangle$ даёт обе безусловные вероятности, получаемые усреднением условных по $p$.