Измерение двух подсистем в тензорном произведении

Пусть квантовые системы имеют пространства $\mathcal H_1,\mathcal H_2$ с ортонормированными базисами $\phi_n,\theta_m$. Общее состояние $\psi=\sum_{nm}c_{nm}\phi_n\otimes\theta_m$, причём скалярное произведение простых тензоров равно произведению скалярных произведений. (a) Пусть $A_1,B_2$ — наблюдаемые соответствующих систем с полными собственными базисами. Оператор $C=A_1\otimes B_2$ переводит $\phi_n\otimes\theta_m$ в $(A_1\phi_n)\otimes(B_2\theta_m)$. Докажите эрмитовость и полноту собственных кетов $C$. (b) Пусть $A_1=\sum_na_n|a_n\rangle\langle a_n|$, $B_2=\sum_mb_m|b_m\rangle\langle b_m|$, причём спектр каждого оператора простой. При совместном измерении пара $(a_n,b_m)$ имеет вероятность $|\langle\psi|(|a_n\rangle\otimes|b_m\rangle)|^2$. Докажите, что это распределение вероятностей, и выразите обе маргинальные вероятности через $\psi$ и собственные кеты. (c) Конкретизируйте результат для $\psi=\psi_1\otimes\psi_2$.