Невозможность унитарного клонирования неизвестного состояния

Докажите от противного невозможность идеально клонировать неизвестное состояние унитарной эволюцией. Исходная и вспомогательная системы имеют одинаковую размерность, например 2. Предположим, что для любого единичного кета $U|\psi,0\rangle=|\psi,\psi\rangle$, где $|0\rangle$ — фиксированное пустое состояние. Возьмите различные нормированные $\psi_1,\psi_2$ и ненулевые комплексные $\alpha,\beta$. Для $D=\sqrt{|\alpha|^2+|\beta|^2+2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\langle\psi_1|\psi_2\rangle)}$ зададим $\psi^\prime=(\alpha\psi_1+\beta\psi_2)/D$ и $\theta=U|\psi^\prime,0\rangle$. (a) Найдите длину $\theta$ из унитарности. (b) Используя линейность, покажите, что $\theta=\alpha^\prime|\psi_1,\psi_1\rangle+\beta^\prime|\psi_2,\psi_2\rangle$, где $\alpha^\prime=\alpha/D,\ \beta^\prime=\beta/D$. (c) Вычислите длину из (b), покажите противоречие с (a) и сделайте вывод.