Массовая матрица трёхмерного топологического изолятора

Трёхмерный топологический изолятор сохраняет заряд и симметрию обращения времени. (a) Пусть одночастичный гамильтониан невзаимодействующих фермионов $M(\mathbf k)=\mathbf v(\mathbf k)\cdot\boldsymbol\sigma$ имеет только два нуля и вблизи них $M(\mathbf k_{R,L}+\delta\mathbf k)=\pm\delta\mathbf k\cdot\boldsymbol\sigma$. Покажите, что в непрерывном координатном представлении $H=\sum_{j=1}^3\sigma_j\otimes\sigma_3\,i\partial_j$ и многочастичный оператор $\hat H=\int d^3x\,\hat c_b^\dagger H_{ba}\hat c_a$. (b) При переходе к майорановским полям гамильтониан равен $i\sum_j\gamma_j\partial_j$. Положим $\epsilon=i\sigma_2$, $\sigma_0=I$. Даны $\gamma_1=I\otimes\sigma_1\otimes\sigma_3$, $\gamma_2=\epsilon\otimes\epsilon\otimes\sigma_3$, $\gamma_3=I\otimes\sigma_3\otimes\sigma_3$, $Q=\epsilon\otimes I\otimes I$, $T=\sigma_3\otimes\epsilon\otimes I$, $TQ=\sigma_1\otimes\epsilon\otimes I$. Найдите общий вид вещественной антисимметричной массы $A$, антикоммутирующей с $\gamma_j,T,TQ$ и коммутирующей с $Q$. (d) Рассмотрите пространство вещественных антисимметричных матриц $2n\times2n$ с $A^2=-I$ и $A\rho=-\rho A$, где $\rho=\operatorname{diag}(I_n,-I_n)$. Покажите, что $A=\begin{pmatrix}0&-O^T\\O&0\end{pmatrix}$ с $O\in O(n)$. Отсюда пространство изоморфно $O(n)$ и имеет две компоненты связности.