Квантование потока через магнитный тор

Свободная частица на торе $L_x\times L_y$ имеет периодическую волновую функцию по обеим координатам. Для частицы единичного заряда в однородном поле используем $H=-(m/2)(\boldsymbol\partial-i\mathbf A)^2$ в единицах $\hbar=e=c=1$. (a) При $\psi^\prime=e^{if(x,y)}\psi$ найдите новый гамильтониан $H^\prime$ в $i\partial_t\psi^\prime=H^\prime\psi^\prime$. (b) Пусть $(A_x,A_y)=(-By,0)$. По $x$ сохраняется $\psi(x+L_x,y)=\psi(x,y)$. При сдвиге по $y$ потенциалы связаны преобразованием $\mathbf A(x,y+L_y)=\mathbf A(x,y)-iU^{-1}\boldsymbol\partial U$. Найдите $U$ и граничное условие для $\psi(x,y+L_y)$. Покажите, что согласованность требует целого числа квантов потока через тор. (c) Покажите, что кратность вырождения первого уровня Ландау равна числу квантов потока.