Две зоны кирального треугольного магнита

Рассмотрим перескоки электронов по треугольной решётке с некомпланарным магнитным порядком на рисунке. Магнитные моменты направлены по четырём векторам $\mathbf n_1,\ldots,\mathbf n_4$, и спин электрона на каждом узле параллелен местному моменту: $|n_i\rangle=(\cos(\theta_i/2),e^{i\phi_i}\sin(\theta_i/2))^T$. Амплитуда перескока $i\to j$ равна $t_{ij}=A\langle n_i|n_j\rangle$, $A>0$. Фаза произведения $t_{ij}t_{jk}t_{ki}$ соответствует потоку через треугольник. (a) Покажите однородность потока и вычислите его для каждого треугольника. (b) Покажите отсутствие трансляционной симметрии исходной решётки у $t_{ij}$. Подберите фазы четырёх спиновых состояний так, чтобы элементарная ячейка лишь удваивалась. (c) Найдите дисперсии двух зон и ширину щели. Можно рассматривать треугольную решётку как квадратную с диагональной связью. (d) Положите горизонтальные перескоки равными нулю. Каковы новые дисперсии и щель?