Отражение частицы со спин-орбитальной связью

Частица со спином $1/2$ описывается $H=\mathbf p^2/(2m)+g\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p+V(\mathbf x)$ с $g>0$. Матрицы Паули действуют на спин, $V$ — внешний потенциал. Такая связь нарушает инверсию и возможна в полупроводящих кристаллах. (a) При $V=0$ найдите энергию нижнего состояния с импульсом $\mathbf p$. Обозначим это состояние $|\mathbf p\rangle$, а его функцию $\psi_{\mathbf p}$. (b) Пучок в таком состоянии с $\mathbf p=p\hat z$, $p>gm$, ударяется о бесконечную стенку в $z>0$. Найдите энергию, импульс и скорость отражённых частиц. Жёсткая стенка сохраняет спин. (Необязательно: поразмышляйте над наклонным падением $\mathbf p=(p\sin\theta,0,p\cos\theta)$.) (c) Для пакета $|\mathbf x,\mathbf p\rangle=e^{-(\hat{\mathbf x}-\mathbf x)^2/(2\xi^2)}\psi_{\mathbf p}$ со средними положением $\mathbf x$ и импульсом $\mathbf p$ получите полуклассический фазовый лагранжиан и уравнения для $\mathbf x,\mathbf p$, считая $V$ почти постоянным на длине $\xi$.