Кривизна Берри и эффект Холла в деформированном графене

Для графена при деформации матрицы в двух долинах равны $M_K=\hbar v(k_x\sigma_x+k_y\sigma_y)+\Delta\sigma_z$, $M_{K^\prime}=\hbar v(k_x\sigma_y+k_y\sigma_x)+\Delta\sigma_z$. (a) Найдите «магнитное поле» в пространстве $\mathbf k$, $\tilde b_{xy}$, для обеих зон в обеих долинах. Покажите, что оно имеет пик у каждой из точек. Каков полный поток каждого пика и его характерная ширина $\delta k$? (b) При $T=0$ плотность электронов у $K$ равна $n_e^K$, а дырок у $K^\prime$ — $n_h^{K^\prime}$. Найдите холловскую проводимость при малых и больших плотностях и качественно опишите её зависимость от обеих плотностей. (c) Для электрона у $K$ в поле $\mathbf E=E\hat x$ при $t=0$ пусть $\mathbf x=\mathbf k=0$. По уравнениям движения найдите положение через малое время $\tau$, на котором можно считать $\tilde b_{xy}$ постоянным. В момент $\tau$ импульс можно считать сброшенным до нуля рассеянием на примеси.