Сила Казимира в одномерном газе бозонов

Между двумя жёсткими стенками на расстоянии $L$ заключён одномерный квантовый бозонный газ с энергией $\epsilon(p)=c|p|$. Его можно рассматривать как квантовую струну с закреплёнными концами. Моды $\kappa_n=n\pi/L$ имеют частоты $c|\kappa_n|$, и сумма нулевых энергий $E_{\rm vac}=\tfrac12\sum_{n\ge1}c\hbar\kappa_n$ расходится. (a) В регуляризации тепловым ядром положим $E^{\rm heat}_{\rm vac}=\tfrac12\sum c\hbar\kappa_n e^{-\kappa_na}$ при $a\ll L$. Найдите точное выражение и разложение, отбросив члены порядка $a$ и выше. (b) Для решёточной регуляризации $E^{\rm latt}_{\rm vac}=\sum_{n=1}^{N}c\hbar a^{-1}\sin(\kappa_na/2)$, $N=L/a$. Найдите точное выражение и аналогичное разложение. (c) Рассмотрите систему с тремя стенками на рисунке. Найдите обе вакуумные энергии $E_{\rm vac}(L,l)$ при $a\ll l,L$ и силу между стенками, разделёнными расстоянием $l$, при $l\ll L$.