Полуклассические возбуждения взаимодействующих бозонов на цепочке

На одномерной решётке $[\hat\phi_i,\hat\phi_j^\dagger]=\delta_{ij}$ и $H=\sum_i[t(2\hat\phi_i^\dagger\hat\phi_i-\hat\phi_{i+1}^\dagger\hat\phi_i-\hat\phi_i^\dagger\hat\phi_{i+1})-\mu\hat\phi_i^\dagger\hat\phi_i+U(\hat\phi_i^\dagger)^2\hat\phi_i^2]$. Найдите низкоэнергетический спектр полуклассически. (a) Для $\hat\phi_i|0\rangle=0$ покажите, что $\langle0|e^{\sum_i\phi_i^*\hat\phi_i}e^{\sum_j\tilde\phi_j\hat\phi_j^\dagger}|0\rangle=e^{\sum_i\phi_i^*\tilde\phi_i}$. Можно переставить экспоненты, если коммутатор показателей с ними коммутирует. (b) Покажите, что $|\{\phi_i\}\rangle=e^{-\sum|\phi_i|^2/2}e^{\sum_i\phi_i\hat\phi_i^\dagger}|0\rangle$ нормирован и является общим собственным состоянием операторов уничтожения с собственными значениями $\phi_i$. (c) Покажите, что фазовый лагранжиан $\langle i\partial_t-H\rangle$ равен $L=\sum_i i\phi_i^*\dot\phi_i-\bar H$, где $\bar H$ получается заменой операторов на их комплексные значения в нормально упорядоченном $H$. (d) При $t,U>0$, $\mu\ge0$ найдите однородное $\bar\phi$, минимизирующее энергию. (e) Положите $\phi_i=\bar\phi+\delta\phi_i$ и найдите линеаризованные уравнения и частоту плоской волны с волновым числом $k$. Какова дисперсия при малом $k$ на переходе $\mu=0$, в сверхтекучей фазе $\mu>0$ и в изолирующей фазе $\mu<0$?