Критическая дисперсия при переходе из моттовского изолятора

Одномерные взаимодействующие бозоны представлены цепочкой спинов 1 с $H=\sum_i[-J(S_i^xS_{i+1}^x+S_i^yS_{i+1}^y)-BS_i^z+V(S_i^z)^2]$. Здесь $S^z=\operatorname{diag}(1,0,-1)$, $S^x=2^{-1/2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$ и $S^y=i2^{-1/2}\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}$. На фазовой диаграмме чёрные линии соответствуют квадратичной дисперсии, а выделенная точка — линейной. (a) Возьмите пробную функцию $\bigotimes_i|\phi_i,\tilde\phi_i\rangle$, где локальный вектор пропорционален $(\phi_i,1,\tilde\phi_i)^T$ и нормирован множителем $(1+|\phi_i|^2+|\tilde\phi_i|^2)^{-1/2}$. При большом $V$ моттовский изолятор имеет $\phi_i=\tilde\phi_i=0$. Найдите фазовый лагранжиан полуклассической динамики до квадратичных членов. (b) При $B=0$ начните с этого изолятора и уменьшайте $V$ до перехода в сверхтекучую фазу. Найдите низкоэнергетическую дисперсию бесщелевой моды на переходе. Как она меняется при $B\ne0$? Должны получиться критические показатели $z=1$ и $z=2$.