XY-цепочка и свободные фермионы

Рассмотрите открытую цепочку из $N$ узлов с $H=\sum_{i=1}^{N-1}[-(\sigma_i^x\sigma_{i+1}^x+\sigma_i^y\sigma_{i+1}^y)-h\sigma_i^z]$. Её $U(1)$-симметрию порождает $U(\theta)=\prod_i e^{i\theta\sigma_i^z/2}$. По обе стороны области $|h|<h_c$ ожидаются поляризованные фазы (см. рисунок). (a) Преобразованием Йордана — Вигнера получите модель невзаимодействующих фермионов. (b) Теперь рассматривайте фермионную модель на трансляционно-инвариантном кольце с чётным $N$. Найдите энергию основного состояния $E_{\rm ring}(h,N)$. (c) Найдите критические поля $\pm h_c$. (d) Покажите линейную низкоэнергетическую дисперсию $\epsilon_k=v|k|$ в фазе малых $|h|$. Каков центральный заряд? Выразите член порядка $N^{-1}$ в $E_{\rm ring}$ через скорость. (e) Как ведёт себя $v$ при приближении к переходу? Какова дисперсия на переходе? (f) Нейтрон передаёт основному состоянию при $h=0$ импульс $k$ и единицу спина, создавая $\sum_i e^{iki}\sigma_i^-|\Psi_0\rangle$. Оператор $\sum_i e^{iki}c_i$ создаёт фермионное собственное состояние. Является ли собственным состояние, созданное спиновым оператором? Ожидается ли дельта-пик, следующий однофермионной дисперсии, или континуум? Опишите нейтронный спектр.