Когда массовый член открывает щель в одномерном спектре

Два киральных фермиона на кольце имеют гамильтониан $H=\int_0^L dx\,[c_1^\dagger v_1 i\partial_xc_1+c_2^\dagger v_2 i\partial_xc_2+M(c_1^\dagger c_2+{\rm h.c.})]$. Поля удовлетворяют $\{c_i(x),c_j^\dagger(y)\}=\delta_{ij}\delta(x-y)$ и нулевым антикоммутаторам двух операторов уничтожения или двух рождения. Найдите одночастичный спектр при $v_1v_2>0$ (киральный центральный заряд $\pm2$) и при $v_1v_2<0$ (киральный заряд ноль). Можно перейти к импульсному представлению.