Фермионные сектора кольца Изинга и туннельное расщепление

На кольце из $L$ узлов ($L$ кратно четырём) $H=-\sum_{i=1}^L(J\sigma_i^x\sigma_{i+1}^x+h\sigma_i^z)$ с периодическими спинами. (a) Используйте преобразование Йордана — Вигнера $\lambda_i^x=(\prod_{j<i}\sigma_j^z)\sigma_i^x$, $\lambda_i^y=(\prod_{j<i}\sigma_j^z)\sigma_i^y$, чтобы получить фермионный гамильтониан на кольце. (c) Для фермионных гамильтонианов $\sum_i(iJ\lambda_i^y\lambda_{i+1}^x+ih\lambda_i^x\lambda_i^y)$ с периодическими или антипериодическими условиями найдите чётность $\mathrm{FNP}=\prod_i(i\lambda_i^y\lambda_i^x)$ низшего состояния. Подсказка: сгруппируйте моды $k,-k$ и отдельно учтите $0,\pi$, когда они присутствуют. (d) При $J>|h|$ покажите, что расщепление двух нижних энергий имеет вид $\Delta=O(L^\mu)e^{-L/\xi}$, и найдите $\xi$. Можно использовать ветвления функции $\sqrt{A-B\cos k}$ при $k=\pm i\kappa+2\pi n$, где $A=B\cosh\kappa$.