Коррелятор кирального майорановского поля

При упорядочении по мнимому времени перестановка фермионных операторов даёт минус, а эволюция между ними задаётся $e^{-|t_1-t_2|H}$. Для кирального майорановского фермиона на кольце длины $L$ положим $H=\sum_{k>0}vk\lambda_k^\dagger\lambda_k$, $\{\lambda_k,\lambda_{k^\prime}^\dagger\}=\delta_{kk^\prime}$ и $\{\lambda_k,\lambda_{k^\prime}\}=0$ при $k,k^\prime>0$, где $k=(2\pi/L)(n+1/2)$. Вакуум удовлетворяет $\lambda_k|0\rangle=0$ при $k>0$. (a) Положив $\lambda_{-k}=\lambda_k^\dagger$, покажите, что $\langle T\lambda_{k_1}(t)\lambda_{k_2}(0)\rangle=e^{-v|tk_2|}\delta_{k_1+k_2,0}$, умноженному на $(1-\operatorname{sgn}k_2)/2$ при $t\ge0$ и на $-(1+\operatorname{sgn}k_2)/2$ при $t<0$. (b) Для $\lambda(x)=L^{-1/2}\sum_k e^{ikx}\lambda_k$ докажите эрмитовость и локальность: антикоммутатор при разных точках равен нулю. (c) Покажите, что упорядоченный коррелятор $\langle\lambda(x,t)\lambda(0,0)\rangle$ равен $L^{-1}/[e^{-i\pi(x+ivt)/L}-e^{i\pi(x+ivt)/L}]$ и при $L\to\infty$ стремится к $1/[-2\pi i(x+ivt)]$.