Секторы нулевой моды одномерной сверхтекучей жидкости

При низких энергиях одномерную сверхтекучую жидкость описывает нелинейная $U(1)$-модель с $u=e^{i\theta}$ и лагранжианом $L=\int dx\,[(\partial_t\theta)^2/(4\pi V_2)-V_1(\partial_x\theta)^2/(4\pi)+(\bar\phi^2/a)\partial_t\theta]$. Ненулевые моды дают фононы с полным импульсом вблизи нуля. (a) Для нулевой моды положите $\theta(x)=(2\pi m/L)x+\theta_0$. Найдите минимальную энергию каждого сектора, задаваемого $m$ и угловым моментом $\theta_0$. (b) Канонический импульс $\theta_0$ равен полному числу бозонов $N$. Каково это число для низшего состояния каждого сектора? (c) Найдите полный пространственный импульс низшего состояния. Можно использовать тот факт, что перенос на $\Delta x$ сдвигает поле на $\Delta\theta=(2\pi m/L)\Delta x$ и умножает состояние $N$ бозонов на $e^{iN\Delta\theta}$. Другой способ — положить $\theta(x,t)=(2\pi m/L)[x-x_0(t)]+\theta_0$ и рассмотреть эффективный лагранжиан и канонический импульс $x_0$.