Поток и низколежащие состояния бозонного кольца

Рассмотрим $L$ бозонных узлов кольца, $H_0=\sum_{i=0}^{L-1}H_{i,i+1}$ и $H_{i,i+1}=(-tb_i^\dagger b_{i+1}+{\rm h.c.})+\mu n_i+Vn_i n_{i+1}$, где $n_i=b_i^\dagger b_i$ и индексы периодичны. Бозоны имеют обычные коммутационные соотношения. (a) Пусть основное состояние $|\Phi\rangle$ имеет $N_0$ частиц и квазиимпульс $K_0$, а $Tb_iT^\dagger=b_{i+1}$. Введём $|\Phi_\theta\rangle=e^{i\theta\sum_{i=0}^{L-1} i n_i/L}|\Phi\rangle$. При $\theta=0\bmod 2\pi$ докажите, что это собственное состояние трансляции, и найдите сдвиг $\Delta K$. (b) При этих $\theta$ средняя энергия $\langle\Phi_\theta|H_0|\Phi_\theta\rangle=L\epsilon_\theta$, где $\epsilon_\theta=\langle\Phi|H_{i,i+1}^\theta|\Phi\rangle$ и $H^\theta_{i,i+1}$ получается сопряжением локального члена оператором закрутки. Найдите такой локальный гамильтониан. (c) Покажите, что его вторая производная и вторая производная $\epsilon_\theta$ по $\theta$ имеют порядок $L^{-2}$. (d) Покажите $\epsilon_{\pm2\pi}\ge\epsilon_0$ и $\epsilon_{2\pi}-\epsilon_0=O(L^{-2})$. (e) Докажите $\langle\Phi_\theta|H_0|\Phi_\theta\rangle-\langle\Phi|H_0|\Phi\rangle=O(L^{-1})$ при $\theta=0\bmod 2\pi$. При заполнении $p/q$ бозонов на узел покажите наличие не менее $q$ почти вырожденных состояний, то есть с расщеплением, стремящимся к нулю при $L\to\infty$.