Краевая мода на границе черновского изолятора

В графене вблизи двух точек Дирака гамильтонианы имеют разную спиральность: $H_{K,K^\prime}=-i\hbar v(\sigma_y\partial_x\pm\sigma_x\partial_y)$. Потенциалы подрешёток $V,-V$ создают одинаковые массовые члены $V\sigma_z$ для обеих точек и обычный изолятор. В модели Холдейна массы имеют противоположные знаки, $\pm\sqrt3t^\prime$, и возникает изолятор Черна. Рассмотрите доменную стенку, меняющую знак массы в $K^\prime$. После циклической перестановки матриц Паули, при $m(y)=y$, $\hbar v=1$, гамильтониан $H=-i(\sigma_z\partial_x-\sigma_y\partial_y)+y\sigma_x$. При $y>0$ изолятор обычный, при $y<0$ — черновский. Уровень Ферми равен нулю, а долина $K$ остаётся щелевой. Ищем $\Psi=e^{ikx}\Psi_k(y)$. (a) Покажите, что при каждом $k$ есть две формальные функции вида $e^{ikx}(C_1 e^{\alpha_1y^2},0)^T$ и $e^{ikx}(0,C_2e^{\alpha_2y^2})^T$. Найдите их и укажите, какую следует отбросить из-за отсутствия нормировки. (b) Найдите $\varepsilon(k)$ и покажите, что у поверхности Ферми остаётся одна киральная мода. (c) Опишите и изобразите дисперсии остальных зон.