Операторы рождения и уничтожения в числовом базисе

A. Запишите значения следующих величин: $(a^\dagger)_{2,3},(a^\dagger)_{5,4},(a^\dagger a)_{6,7},(a^\dagger a)_{7,7},[a,a^\dagger]_{2,2},[a^\dagger,a]_{3,3}$. B. $a^\dagger a$ называют оператором числа квантов $N$. Почему? C. Правило отбора задают разностью квантового числа слева и квантового числа справа. Каковы правила отбора для ненулевых матричных элементов следующих произведений из шести операторов $a$ или $a^\dagger$: $aaa a^\dagger aa,\ a^\dagger a^\dagger aaa a^\dagger,\ aa a^\dagger a a^\dagger a$? C. Какие из следующих матриц эрмитовы: $a,\ a^\dagger,\ a+a^\dagger,\ aa^\dagger,\ \mathbf1$? D. Не забудьте сначала применить крайний правый оператор. Вычислите $(a^\dagger)^7|n\rangle,\quad\langle n|a^\dagger aaa^\dagger a^\dagger|n+1\rangle$.