Спиновая поляризация и зеемановский сдвиг дублета F

$\mathbf L\cdot\mathbf S=(J^2-L^2-S^2)/2=L_zS_z+(L_+S_-+L_-S_+)/2$, $H^{\rm SO}=\zeta\mathbf L\cdot\mathbf S$, $H^{\rm Zeeman}=-\gamma B_z(L_z+2S_z)$. A. Для состояния $^2F_{5/2}$ укажите (i) $S$, (ii) $L$, (iii) $J$. (iv) Вычислите $\langle{}^2F_{5/2},M_J|H^{\rm SO}|{}^2F_{5/2},M_J\rangle$. (v) Вычислите $\langle{}^2F_{7/2},M_J=7/2|H^{\rm Zeeman}|{}^2F_{7/2},M_J=7/2\rangle$. B. Примените $J_-=L_-+S_-$ к обеим частям $|{}^2F_{7/2},M_J=7/2\rangle=|{}^2F,M_L=3,M_S=1/2\rangle$, где два базисных состояния являются «крайними» в связанном и несвязанном базисах соответственно: $J_-|{}^2F_{7/2},M_J=7/2\rangle=(L_-+S_-)|{}^2F,M_L=3,M_S=1/2\rangle$. Найдите нормированную комбинацию $|{}^2F,M_L=2,M_S=1/2\rangle$ и $|{}^2F,M_L=3,M_S=-1/2\rangle$, соответствующую $|{}^2F_{7/2},M_J=5/2\rangle$. C. Проверьте, что $|{}^2F_{5/2},M_J=5/2\rangle=-7^{-1/2}|{}^2F,M_L=2,M_S=1/2\rangle+(6/7)^{1/2}|{}^2F,M_L=3,M_S=-1/2\rangle$ ортогонально состоянию $|{}^2F_{7/2},M_J=5/2\rangle$, полученному в B. D. Вычислите $\langle{}^2F_{5/2},M_J=5/2|H^{\rm Zeeman}|{}^2F_{5/2},M_J=5/2\rangle$.