Сдвиг осциллятора и факторы Франка — Кондона

Оператор сдвига. Подобно тому как оператор эволюции $\hat U(t,t_0)=\exp[-i\hat H(t-t_0)/\hbar]$ сдвигает $\psi(\mathbf r,t)$ во времени, оператор пространственного сдвига $\hat D(\mathbf r,\mathbf r_0)=\exp[-i\hat{\mathbf p}(\mathbf r-\mathbf r_0)/\hbar]$ перемещает $\psi$ в пространстве. (a) Определив $\hat D(\lambda)=\exp(-i\hat p\lambda/\hbar)$ для одномерного сдвига, покажите, что $\hat D^\dagger x\hat D=x+\lambda$, где $\lambda$ — вектор сдвига. Здесь пригодится соотношение $\exp(i\hat G\lambda)\hat A\exp(-i\hat G\lambda)=\hat A+i\lambda[\hat G,\hat A]+(i^2\lambda^2/2!)[\hat G,[\hat G,\hat A]]+\cdots+(i^n\lambda^n/n!)[\hat G,[\hat G,[\hat G,\ldots[\hat G,\hat A]]\ldots]]+\cdots$. (b) Для основного собственного состояния одномерного гармонического осциллятора $|\psi_0\rangle$ покажите, что волновая функция $|\psi_0-\lambda\rangle=\hat D(\lambda)|\psi_0\rangle$ совпадает с волновой функцией $|\psi_0\rangle$, сдвинутой на $\lambda$. (c) В спектроскопии фактор Франка — Кондона $I$ определяет перекрытие электронно-колебательных уровней в основном и возбуждённом электронных состояниях. Вычислим его для двух смещённых гармонических осцилляторов. Найдите фактор Франка — Кондона для перекрытия собственных состояний гармонического осциллятора $|\psi_n\rangle$ с основным состоянием смещённого гармонического осциллятора, то есть $I=|\langle\psi_n|\psi_0-\lambda\rangle|^2=|\langle\psi_n|\hat D(\lambda)|\psi_0\rangle|^2$. Для этого выразите $D$ через операторы рождения и уничтожения. Используйте тождество $e^{\hat A+\hat B}=e^{\hat A}e^{\hat B}e^{-\frac12[\hat A,\hat B]}$, применимое, когда $\hat A$ и $\hat B$ не коммутируют, но их коммутатор коммутирует с обоими.