Возвращение наблюдаемой к равновесию после снятия поля

Релаксация из подготовленного состояния. Функция линейного отклика $R(\tau)$ описывает изменение равновесной системы под действием импульсного возмущения. Можно также приложить силу, удерживающую систему вне её изолированного равновесия, а затем внезапно снять силу. Возврат к равновесию определяет функция отклика на ступеньку $S(\tau)$, которую мы исследуем. До нулевого момента приложена постоянная сила: $H=H_0-f(t)A$, $f(t)=f_0$ при $t<0$ и $0$ при $t\ge0$, то есть $f(t)=f_0\Theta(-t)$. Здесь $\Theta(t)$ — единичная ступенчатая функция. Силу приложили в далёком прошлом, так что к $t=0$ установилось равновесие с гамильтонианом $H$. При $t=+\infty$ система находится в равновесии с $H_0$. Используем в решении базис собственных состояний $H_0$. (a) Запишите выражения для средних $\langle A\rangle_0$ и $\langle A\rangle_\infty$ в моменты $t=0$ и $t=+\infty$. Для вычисления средних по ансамблю, например $\langle e^{-\beta H}A\rangle$, можно воспользоваться классическим приближением линейного отклика $e^{-\beta(H_0-fA)}\approx e^{-\beta H_0}(1+\beta fA)$ ($fA\ll H_0$). Объясните, почему квантовый расчёт сложнее. (b) Как меняется $A$ при $t>0$, если при $t=0$ среднее равнялось $\langle A\rangle_0$, а далее эволюция определяется только $H_0$? Для решения сначала приготовьте к моменту $t=0$ состояние с $H=H_0-f_0A$. Пусть в $t=-\infty$ система находится в равновесии с $H_0$, затем сила нарастает с темпом $\eta$ и резко выключается в $t=0$: $f(t)=f_0e^{\eta t}\Theta(-t)$. Получите выражение для изменения внутренней переменной $A$ при $t>0$ в пределе $\eta\to0$. Может пригодиться связь между преобразованиями Фурье функции отклика и восприимчивости. (c) Корреляционная функция флуктуаций $A$ имеет вид $C_{AA}(t)=\langle A_I(t)A_I(0)\rangle=\sum_{n,m}p_n|A_{mn}|^2e^{-i\omega_{mn}t}$. Покажите, что дифференцированием ступенчатого отклика из (b) можно получить импульсный, а ступенчатый отклик разлагается по косинусам, то есть по чётным функциям времени.