Тепловое число квантов и корреляция координаты

Гармонические осцилляторы. Следующие вопросы относятся к гармоническому осциллятору с гамильтонианом $H_0=p^2/(2m)+m\omega_0^2q^2/2=\hbar\omega_0(a^\dagger a+1/2)$. (a) Покажите, что среднее тепловое число заполнения для частоты $\omega_0$ равно $\langle n\rangle=(\exp(\beta\hbar\omega_0)-1)^{-1}$. (b) Выразите временную зависимость операторов $p(t)$ и $q(t)$ через повышающий и понижающий операторы. (c) Вычислите корреляционную функцию координаты $C_{qq}=\langle q(t)q(0)\rangle$.