Эхо и двухквантовая когерентность ангармонического колебания

Нелинейные эксперименты с ангармоническим колебанием. Рассмотрим два эксперимента во временной области с нелинейным откликом третьего порядка. При высокой частоте колебаний в равновесии заселено только основное состояние ($\rho_{\rm eq}=|0\rangle\langle0|$), и для описания отклика достаточно трёх колебательных уровней $n=0,1,2$. В слабо ангармоническом осцилляторе частота основного перехода $\omega_{10}=\Omega$ лишь немного отличается от частоты перехода $n=1\to2$, $\omega_{21}=\Omega-\delta\Omega$. Опишем два показанных эксперимента. Два импульса с одинаковой частотой $\omega$, резонансной с переходами $\Delta n=\pm1$ ($\omega\approx\omega_{10}\approx\omega_{21}$), разделены задержкой $\tau$ и пересекаются под малым углом, порождая за образцом два сигнала без фона. Поле $E_1$ с волновым вектором $\mathbf k_1$ приходит раньше импульса $E_2$ с волновым вектором $\mathbf k_2$. На плоскости за образцом сигналы $\mathbf k_+$ и $\mathbf k_-$ видны как равноотстоящие пятна по обе стороны прошедших пучков. Сигнал $\mathbf k_+$ находится со стороны прошедшего пучка $\mathbf k_1$. (a) Запишите условия согласования волновых векторов для излучения в направлениях $\mathbf k_+$ и $\mathbf k_-$. Какова частота каждого сигнала? (b) Нарисуйте все диаграммы Фейнмана и лестничные диаграммы, дающие вклад в оба сигнала, если исходное состояние основное. (c) Запишите корреляционную функцию для каждой диаграммы, предполагая феноменологическое затухание при эволюции с $H_0$. (d) Подробнее рассмотрим сигнал $\mathbf k_-$ при неоднородном уширении. Пусть однородное затухание всех когерентностей равно $\Gamma=\Gamma_{10}=\Gamma_{21}$, а резонансные частоты распределены по Гауссу: $Z(\omega_{10})=\exp[-(\omega_{10}-\langle\omega_{10}\rangle)^2/(2\Delta^2)]$. Для каждого члена ансамбля $(\omega_{21})_i=(\omega_{10})_i-\delta\Omega$. Регистрируемый фотодетектором интегральный сигнал при задержке $\tau$ равен $S(\tau)\propto\int_0^\infty d\tau_3\,|P^{(3)}(\tau,\tau_3)|^2$. Предполагая дельта-образные импульсы, выведите аналитическое выражение для $S(\tau)$ и объясните особенности сигнала в пределах $\Delta\gg\Gamma$ и $\Delta\ll\Gamma$. (Для наглядности можно построить зависимость $P^{(3)}$ от $\tau_1$ и $\tau_3$.) Допускается считать $\omega\approx\Omega\gg\delta\Omega>\Gamma$. Из правил отбора гармонического осциллятора можно принять $\mu_{21}=\sqrt2\mu_{10}$.