Двумерный спектр пары связанных ангармонических осцилляторов

Двумерный спектр связанных осцилляторов. Вычислите двумерный спектр нелинейного эксперимента третьего порядка для вырожденной пары связанных ангармонических колебаний. Рассмотрите два ангармонических осциллятора с колебательными уровнями. Энергия перехода $v=0\to1$ каждого осциллятора равна $\epsilon$, а перехода $1\to2$ — $\epsilon-\Omega$. Осцилляторы связаны линейным взаимодействием $V(a_1^\dagger a_2+a_1a_2^\dagger)$ величины $V$. Считаем $\Omega,V\ll\epsilon$. (a) Найдите собственные значения энергии при $v=0,1,2$. Сначала объясните матричную форму гамильтониана $$H_0=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0\\0&\epsilon&V&0&0&0\\0&V&\epsilon&0&0&0\\0&0&0&2\epsilon-\Omega&0&\sqrt2V\\0&0&0&0&2\epsilon-\Omega&\sqrt2V\\0&0&0&\sqrt2V&\sqrt2V&2\epsilon\end{pmatrix}.$$ Строки соответствуют $|0,0\rangle,|0,1\rangle,|1,0\rangle,|0,2\rangle,|2,0\rangle,|1,1\rangle$. Числа обозначают возбуждения каждого осциллятора, а $|1,1\rangle$ — комбинационная полоса с одним квантом в каждом осцилляторе. Покажите соответствие состояний полосам на рисунке. (b) Для разрешённых резонансов между соседними полосами изобразите лестничные диаграммы, соответствующие рефазирующим членам $R_2$ и $R_3$ нелинейного отклика третьего порядка. Считайте разрешёнными только следующие одноквантовые переходы: $\mu_{00,10},\mu_{00,01},\mu_{10,20},\mu_{01,02},\mu_{01,11},\mu_{10,11}$. Можно также положить $\sqrt2\mu_{00,10}=\mu_{01,02}$, $\sqrt2\mu_{00,01}=\mu_{10,20}$, $\mu_{01,11}=\mu_{10,11}$. Запишите отклик каждой диаграммы при $\tau_2=0$. (c) Преобразуйте отклики по Фурье по $\tau_1,\tau_3$, положив $\Gamma_{ij}\to0$. Каждая диаграмма даёт дельта-пик на двумерном спектре по $\omega_1,\omega_3$. Укажите положения пиков и их зависимость от $\epsilon,V,\Omega$.