Два уровня фермионного осциллятора

Рассмотрите необычный гармонический осциллятор с оператором энергии $\hat E_F=\hbar\omega\,\alpha^\dagger\alpha$. Операторы удовлетворяют антикоммутационным соотношениям $\alpha\alpha^\dagger+\alpha^\dagger\alpha=1$, $(\alpha^\dagger)^2=0$, $\alpha^2=0$. Используйте их, чтобы доказать:
(i) $\hat E_F^2=\hbar\omega\hat E_F$. Каковы возможные собственные значения $\hat E_F$?
(ii) Существует состояние, уничтожаемое $\alpha$. Обозначьте его $\phi_0$.
(iii) Оператор $\alpha^\dagger$ не может уничтожать $\phi_0$, то есть $\alpha^\dagger\phi_0\ne0$. Положите $\phi_1=\alpha^\dagger\phi_0$.
(iv) $\alpha\phi_1=\phi_0$ и $\alpha^\dagger\phi_1=0$.
(v) Убедитесь, что $\phi_0,\phi_1$ — собственные функции $\hat E_F$, и найдите их собственные значения.