Колебание смещённого основного состояния

Частица массы $m$ находится в потенциале гармонического осциллятора. В начальный момент

$$\begin{gathered}\psi(x,0)=(\pi\beta^2)^{-1/4}\exp\left[-\frac{(x-x_0)^2}{2\beta^2}\right],\\\beta^2=\frac\hbar{m\omega_0}.\end{gathered}$$

Это основное состояние, смещённое из положения равновесия $x=0$ в $x=x_0$. При $x_0\ne0$ оно не является собственным состоянием энергии и должно меняться со временем.

(a) Подействуйте на начальное состояние оператором понижения, выразив его через $\hat x,\hat p$. Что это за состояние? Подсказка: сравните с определением когерентного состояния $\hat a\varphi_\alpha=\alpha\varphi_\alpha$.

(b) Запишите формальное выражение для $\psi(x,t)$ при $t>0$ как суперпозицию собственных состояний энергии.

(c) Используя

$$\phi_n(x)=\mathcal N_nH_n(x/\beta)e^{-x^2/(2\beta^2)},$$

где $H_n$ — полиномы Эрмита, а $\mathcal N_n$ — нормировочные множители, докажите:

$$\begin{gathered}c_n=\langle\phi_n|\psi\rangle\\=\frac1{\sqrt{n!}}\left(\frac{x_0}{\sqrt2\beta}\right)^ne^{-x_0^2/(4\beta^2)}.\end{gathered}$$

(d) Подставьте $c_n$ в разложение и возьмите квадрат модуля, чтобы получить

$$\begin{gathered}P(x,t)=\frac1{\sqrt\pi\beta}\\\times\exp\left[-\frac{(x-x_0\cos\omega_0t)^2}{\beta^2}\right].\end{gathered}$$

Начальный смещённый пакет сохраняет форму, а его центр колеблется с амплитудой $x_0$ и частотой $\omega_0$. Подсказка: используйте производящую функцию.

Подробная подсказка из сноски к(c):

$$Z(u,s)=e^{-s^2+2su}=\sum_{n=0}^\infty\frac{H_n(u)}{n!}s^n,$$

$$H_k(u)=\left.\partial_s^k Z(u,s)\right|_{s=0}.$$

Она позволяет получить сразу все интегралы полиномов Эрмита с гауссовой функцией: вместо отдельных интегралов для $H_n$ проинтегрируйте $Z$ и сравните коэффициенты ряда.