Норма квантового состояния при унитарном сдвиге

Унитарный оператор $U$ — оператор, для которого сопряжённый является обратным: $U^\dagger U=1=UU^\dagger$.
(e) Пусть $U$ — унитарный оператор, а $v$ — состояние. Покажите, что действие $U$ сохраняет норму $v$.
(f) Вспомним оператор переноса на $L$, сдвигающий среднее положение на $L$: $T_L=e^{-iL\hat p/\hbar}$, $T_L f(x)=f(x-L)$. Аналогично определим оператор сдвига на $q$, сдвигающий средний импульс на $q$: $B_q=e^{iq\hat x/\hbar}$, $B_qf(x)=e^{iqx/\hbar}f(x)$. Убедитесь, что $T_L$ и $B_q$ унитарны, и докажите $T_L^\dagger=T_{-L}$, $B_q^\dagger=B_{-q}$.