Прохождение ступени, барьера и квантовой неоднородности провода

(a) Рассмотрите рассеяние частиц массы $m$ на потенциальной ступени высоты $V_0$. Найдите амплитуды $t,r$ и вероятности $T,R$ при $E>V_0$ и $E<V_0$. Нарисуйте $T(E)$. Чем отличаются случаи движения вверх и вниз по ступени?

(b) Для барьера ширины $L$ и высоты $V_0$ вероятность прохождения равна

$$T=\left[1+\frac{V_0^2\sinh^2(\alpha L)} {4E(V_0-E)}\right]^{-1},\qquad E<V_0,$$

где $\alpha^2=2m(V_0-E)/\hbar^2$. При $E>V_0$:

$$T=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2(k_2L)} {4E(E-V_0)}\right]^{-1},$$

где

$$k_2^2=\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2},\qquad g_0^2=\frac{2mL^2V_0}{\hbar^2}.$$

Нарисуйте $T$ как функцию $E/V_0$ для очень широкого ($g_0=20$), среднего ($g_0=2$) и тонкого ($g_0=0.2$) барьера. Подсказка: перейдите к безразмерным величинам. Чему равен предел $T$ при $E\to V_0$ в каждом случае?

(c) Для высокого широкого барьера $g_0\gg1$ как $T$ зависит от $L$, если $E<V_0$? Обсудите возможность туннелирования золотой рыбки через стенку её аквариума.

(d) Для ямы глубины $-V_0$ вероятность прохождения:

$$T=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2(k_2L)} {4E(E+V_0)}\right]^{-1},$$

где $k_2^2=2m(E+V_0)/\hbar^2$. Получите это из формулы для барьера заменой $V_0$ на отрицательное значение, учитывая знаки и множители $i$. Почему такая замена работает? Снова нарисуйте $T(E/V_0)$ для $g_0=20,2,0.2$.

Можно пользоваться программой для вычисления кривых, но их эскизы с характерными значениями следует построить самостоятельно.

(e) Экспериментатор исследует провод с необычной локализованной неоднородностью. Измеренная амплитуда прохождения отдельного электрона $T(E)$ при энергии $E$ в электронвольтах показана на рисунке ниже. Предложите численно разумную модель потенциала, оцените характерные энергию и ширину неоднородности. Нарисуйте потенциал и отметьте его основные параметры.