Коммутаторы и лестничные операторы момента импульса

В классической механике момент импульса $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$ сохраняется в системе с вращательной симметрией. В квантовой механике его компоненты задаются операторами:

$$\hat L_x=\hat y\hat p_z-\hat z\hat p_y,$$

$$\hat L_y=\hat z\hat p_x-\hat x\hat p_z,$$

$$\hat L_z=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x.$$

(a) Пользуясь $[\hat x_a,\hat p_b]=i\hbar\delta_{ab}$, докажите:

$$[\hat L_y,\hat L_z]=i\hbar\hat L_x,$$

$$[\hat L_z,\hat L_x]=i\hbar\hat L_y,$$

$$[\hat L_x,\hat L_y]=i\hbar\hat L_z.$$

(b) Для $\hat L^2=\hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2$ докажите $[\hat L_z,\hat L^2]=0$. Без дополнительных вычислений объясните, почему $[\hat L_x,\hat L^2]$ и $[\hat L_y,\hat L^2]$ также равны нулю.

(c) Введите лестничные операторы $\hat L_-=\hat L_x-i\hat L_y$ и $\hat L_+=\hat L_x+i\hat L_y$. Докажите:

$$[\hat L_z,\hat L_\pm]=\pm\hbar\hat L_\pm,$$

$$[\hat L^2,\hat L_\pm]=0.$$

Какие свойства собственных значений $\hat L^2$ и $\hat L_z$ следуют из этих коммутаторов?
Это важно, поскольку у некоммутирующих операторов нет одного и того же набора собственных векторов. Точнее, для операторов $A,B$ и состояния $\psi$ выполняется $\Delta A\Delta B\ge|\langle[A,B]\rangle_\psi|/2$. В собственном состоянии значение определено и неопределённость равна нулю, поэтому $\psi$ может быть собственным состоянием обоих операторов лишь при $\langle[A,B]\rangle_\psi=0$. В общем случае соотношение $[L_x,L_y]=i\hbar L_z$ означает, что при определённом $L_x$ величина $L_y$ обычно не определена, так же как при определённой координате не определён импульс.
Второй результат означает, что можно найти состояния с определёнными значениями и $L^2$, и $L_z$. Пользуясь $\mathbf p=-i\hbar\nabla$ и сферическими координатами, можно проверить, что $L^2=-\hbar^2[(\sin\theta)^{-1}\partial_\theta(\sin\theta\,\partial_\theta)+(\sin\theta)^{-2}\partial_\phi^2]$. Именно этот оператор входит в оператор энергии при центральном потенциале. Для центральных потенциалов собственные состояния энергии являются собственными состояниями $L^2$.