Неопределённости компонент момента импульса

Из коммутационных соотношений момента импульса следуют неравенства:

$$\Delta L_x\Delta L_y\geq\frac\hbar2|\langle\hat L_z\rangle|,$$

$$\Delta L_y\Delta L_z\geq\frac\hbar2|\langle\hat L_x\rangle|,$$

$$\Delta L_z\Delta L_x\geq\frac\hbar2|\langle\hat L_y\rangle|.$$

Частица находится в нормированном собственном состоянии операторов $\hat L^2,\hat L_z$: $\Psi\propto Y_{lm}$, $\langle\Psi|\Psi\rangle=1$.

(a) Докажите, что $\langle L_x\rangle=\langle L_y\rangle=0$. Подсказка: используйте $\hat L_+,\hat L_-$.

(b) Докажите:

$$\begin{gathered}\langle L_y^2\rangle=\langle L_x^2\rangle\\=\frac{\hbar^2}{2}[l(l+1)-m^2]\end{gathered}.$$

Подсказка: используйте $\hat L^2=\hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2$.

(c) Проверьте с помощью найденных результатов первое соотношение неопределённостей. Могут ли неопределённости любых двух компонент $\mathbf L$ одновременно равняться нулю?