Неразрушающее измерение числа фотонов с помощью эффекта Керра

В схеме на рисунке перекрёстный эффект Керра даёт $c=e^{j\kappa a^\dagger a}b$, $d=e^{j\kappa b^\dagger b}a$ при $\kappa>0$. Гомодинный детектор измеряет $c_2=\operatorname{Im}c$. (a) Найдите матричные элементы $cd$ и $dc$ между числовыми кетами $|m_a,m_b\rangle$ и $\langle n_a,n_b|$. (b) При входном $|m_a\rangle$ найдите распределение измерения $N_d=d^\dagger d$. Состояние $b$ можно не знать. (c) При $|m_a\rangle$ и когерентном $|\sqrt{N_b}\rangle$ запишите среднее и дисперсию $c_2$. (d) В тех же состояниях при $\kappa m_a\ll1$ оценим число фотонов $a$ как $\tilde N_a=c_2/(\sqrt{N_b}\kappa)$, где $c_2$ теперь означает результат измерения. Найдите среднеквадратичную ошибку $\langle(\tilde N_a-m_a)^2\rangle$.