Ненулевой собственный кет оператора рождения

Предположим, что ненулевой кет удовлетворяет $a^\dagger|\beta\rangle=\beta|\beta\rangle$ для комплексного числа $\beta$. Используйте полноту числовых кетов, чтобы разложить $|\beta\rangle=\sum_{n=0}^\infty b_n|n\rangle$, где $b_n=\langle n|\beta\rangle$. Подставьте разложение в исходное равенство и покажите, что единственное решение — $b_n=0$ при всех $n$, то есть ненулевых собственных кетов нет.