Разложение бозонных операторов по когерентным проекторам

У гармонического осциллятора частоты $\omega$ операторы уничтожения и рождения $a,a^\dagger$. Для $\alpha\in\mathbb C$ когерентные состояния определены как $|\alpha\rangle=e^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n\ge0}\alpha^n|n\rangle/\sqrt{n!}$. (a) Используя ортонормированность числовых состояний и ряд экспоненты, вычислите $\langle\alpha|\beta\rangle$. Нормированы ли когерентные состояния и ортогональны ли состояния с разными собственными значениями? (b) Используйте полноту числовых состояний и покажите сверхполноту когерентных: $\int_{\mathbb C}|\alpha\rangle\langle\alpha|\,d^2\alpha/\pi=I$, где $d^2\alpha=d\operatorname{Re}\alpha\,d\operatorname{Im}\alpha$. (c) Покажите, что в таком интеграле операторы $a,a^\dagger,aa^\dagger,a^\dagger a$ представляются весами $\alpha,\alpha^*,|\alpha|^2,|\alpha|^2-1$ соответственно.