Предельное отношение сигнала к шуму квадратуры

У гармонического осциллятора с операторами $a,a^\dagger$ положим $a_1=\operatorname{Re}a$, $a_2=\operatorname{Im}a$. Найдите состояние, максимизирующее $\mathrm{SNR}=\langle a_1\rangle^2/\langle(\Delta a_1)^2\rangle$ при $\langle a_1\rangle>0$, $\langle a^\dagger a\rangle\le N$. (a) Выразите число фотонов через квадраты средних и дисперсии обеих квадратур. Почему в оптимуме $\langle a_2\rangle=0$ и $\langle a^\dagger a\rangle=N$? Получите $\mathrm{SNR}=(N+1/2-\langle(\Delta a_2)^2\rangle)/\langle(\Delta a_1)^2\rangle-1$. (b) Докажите, что оптимум достигается при равенстве $\langle(\Delta a_1)^2\rangle\langle(\Delta a_2)^2\rangle=1/16$, и оптимизируйте по дисперсии $a_1$. (d) Сравните оптимальное отношение сигнала к шуму с когерентным состоянием $|\sqrt N\rangle$ при том же среднем числе фотонов.