Нормальное и антинормальное упорядочение операторов

Для осциллятора нормально упорядоченный ряд имеет вид $\sum f_{nm}(a^\dagger)^na^m$, антинормально упорядоченный — $\sum g_{nm}a^n(a^\dagger)^m$. (a) Найдите обе формы $F=aa^\dagger a$. Вычислите $\langle\alpha|F|\alpha\rangle$ и проверьте, что это нормально упорядоченная функция $F^{(n)}(\alpha^*,\alpha)$, где вместо операторов подставлены числа. (b) Используйте разрешение единицы $\int|\alpha\rangle\langle\alpha|\,d^2\alpha/\pi=I$ для доказательства $G=\iint (d^2\alpha/\pi)(d^2\beta/\pi)\langle\alpha|G|\beta\rangle|\alpha\rangle\langle\beta|$. (c) Считая аргументы $F^{(n)}$ независимыми, покажите $\langle\alpha|F|\beta\rangle=F^{(n)}(\alpha^*,\beta)\langle\alpha|\beta\rangle$, где $\langle\alpha|\beta\rangle=e^{-(|\alpha|^2+|\beta|^2)/2+\alpha^*\beta}$. (d) Для оператора плотности покажите неотрицательность $\rho^{(n)}(\alpha^*,\alpha)=\langle\alpha|\rho|\alpha\rangle$ и её нормировку $\int\rho^{(n)}\,d^2\alpha/\pi=1$.