Три характеристические функции квантовой моды

Для гармонического осциллятора с плотностью $\rho$ определим $\chi_A=\operatorname{tr}(\rho e^{-\zeta^*a}e^{\zeta a^\dagger})$, $\chi_N=\operatorname{tr}(\rho e^{\zeta a^\dagger}e^{-\zeta^*a})$ и $\chi_W=\operatorname{tr}(\rho e^{-\zeta^*a+\zeta a^\dagger})$, где $\zeta$ комплексно. (a) Если $A,B$ коммутируют со своим коммутатором, то $e^{A+B}=e^Ae^Be^{-[A,B]/2}=e^Be^Ae^{[A,B]/2}$. С помощью этого соотношения свяжите три функции и найдите их для когерентного состояния $|\alpha\rangle$. (b) Докажите $\langle\alpha|\rho|\alpha\rangle=\int d^2\zeta\,\chi_A e^{-\zeta\alpha^*+\zeta^*\alpha}/\pi$. (c) Используя определённость $\rho$ его когерентными диагональными элементами, докажите $\rho=\int(d^2\zeta/\pi)\chi_A e^{-\zeta a^\dagger}e^{\zeta^*a}$. (d) Если $\rho=\int d^2\alpha\,P(\alpha,\alpha^*)|\alpha\rangle\langle\alpha|$ с классической совместной плотностью $P$, докажите $P=\int d^2\zeta\,\chi_N e^{-\zeta\alpha^*+\zeta^*\alpha}/\pi^2$. (e) Для измерения $a_\theta=\operatorname{Re}(ae^{-j\theta})=a_1\cos\theta+a_2\sin\theta$ найдите характеристическую функцию результата $M_{\alpha_\theta}(jv)=\operatorname{tr}(\rho e^{jva_\theta})$ из $\chi_W$.