Положительное P-представление и классические пределы шума

Осциллятор имеет допустимое $P$-представление с плотностью $P(\alpha,\alpha^*)$. (a) Покажите, что его можно считать смесью когерентных состояний $|\alpha\rangle$ с этой плотностью. (b) Получите $P(N=n)=\int d^2\alpha\,P(\alpha,\alpha^*) e^{-|\alpha|^2}|\alpha|^{2n}/n!$. Докажите, что дисперсия числа фотонов не меньше среднего, и что числовое состояние $|n\rangle$ при $n>0$ не допускает такого представления. (c) Для квадратуры $a_1$ покажите, что плотность результата $x$ равна $\int d^2\alpha\,P(\alpha,\alpha^*)e^{-2(x-\alpha_1)^2}/\sqrt{\pi/2}$, $\alpha_1=\operatorname{Re}\alpha$. Покажите, что дисперсия не меньше $1/4$. С помощью этого результата докажите отсутствие допустимого $P$-представления для сжатого состояния $|\beta;\mu,\nu\rangle$ при $\mu,\nu>0$.