Двухмодовый квантовый светоделитель

На рисунке показан светоделитель для двух мод частоты $\omega$. Для операторов уничтожения $(a_o,b_o)^T=R(a_i,b_i)^T$, где $R=\begin{pmatrix}\sqrt\epsilon&\sqrt{1-\epsilon}\\-\sqrt{1-\epsilon}&\sqrt\epsilon\end{pmatrix}$ и $0<\epsilon<1$ — пропускание по мощности. (a) Докажите, что полное число фотонов сохраняется независимо от входного состояния. (b) Входные моды независимы: $[a_i,b_i]=[a_i,b_i^\dagger]=0$ и $[a_i,a_i^\dagger]=[b_i,b_i^\dagger]=1$. Докажите те же соотношения для выходов. (c) Совместная плотность $\rho_i$ определяется когерентными диагональными элементами $\langle\alpha,\beta|\rho_i|\alpha,\beta\rangle$, четырёхмерное преобразование Фурье которых даёт антинормальную характеристическую функцию $\chi_A(\boldsymbol\zeta)=\operatorname{tr}[\rho\,e^{-\zeta_a^* a-\zeta_b^* b}e^{\zeta_a a^\dagger+\zeta_b b^\dagger}]$. Выразите выходную $\chi_A$ через входную, записав обе экспоненты через входные операторы и усреднив по $\rho_i$. (d) Для когерентного входа $|\alpha_i\rangle|\beta_i\rangle$ используйте (c), чтобы доказать когерентность двух выходов с амплитудами $(\alpha_o,\beta_o)^T=R(\alpha_i,\beta_i)^T$.