Факториальные моменты числа отсчётов идеального детектора

Идеальный фотодетектор измеряет $N=a^\dagger a$ в одномодовой плотности $\rho$, давая классический результат с $P_n=\langle n|\rho|n\rangle$. Производящая функция $M_N(s)=\sum_{n\ge0}e^{sn}P_n$. (a) Для $Q_N(\lambda)=\sum_{n\ge0}(1-\lambda)^nP_n$ выразите $M_N(s)$ через $Q_N$. (b) Покажите, что $Q_N^{(k)}(0)=(-1)^k\sum_{n\ge k}n(n-1)\cdots(n-k+1)P_n=(-1)^k\langle(a^\dagger)^ka^k\rangle$. (c) При $\rho=|m\rangle\langle m|$ найдите все факториальные моменты. Используйте их в ряде Тейлора $Q_N$ и восстановите $M_N$, затем проверьте прямым вычислением. (d) Проделайте то же для когерентного состояния $|\alpha\rangle$.