Биномиальные потери при прямом фотодетектировании

Фотодетектор с чувствительной площадью $A$ и квантовой эффективностью $\eta$ освещается полем $\hat E(x,y,t)$, у которого единственная невакуумная мода равна $ae^{-j\omega t}/\sqrt{AT}$ при $0\le t\le T$ (рисунок). Результат $N^\prime$ имеет статистику $a^{\prime\dagger}a^\prime$, где $a^\prime=\sqrt\eta\,a+\sqrt{1-\eta}\,a_\eta$, а $a_\eta$ — независимая вакуумная мода. (a) Выразите $\langle(a^{\prime\dagger})^k(a^\prime)^k\rangle$ через $\eta$ и входные факториальные моменты. (d) Проверьте формулу $M_{N^\prime}(s)=\sum_{n\ge0}e^{sn}\sum_{k\ge n}\binom{k}{n}\eta^n(1-\eta)^{k-n}\langle k|\rho|k\rangle$. Можно переставить суммы и применить бином Ньютона. (e) Выразите $P(N^\prime=n)$ через распределение $P(N=n)$ при единичной эффективности для той же плотности $\rho$.