Квадратурные распределения после параметрического усилителя

На частоте $\omega$ входной оператор вырожденного параметрического усилителя удовлетворяет $[a_i,a_i^\dagger]=1$, а $a_o=\mu a_i+\nu a_i^\dagger$, где $|\mu|^2-|\nu|^2=1$. (a) Покажите $[a_o,a_o^\dagger]=1$. (b) При когерентном входе $|\alpha_i\rangle$ найдите входную характеристическую функцию Вигнера $\chi_W(\zeta)=\operatorname{tr}[\rho\exp(-\zeta^*a+\zeta a^\dagger)]$. (c) Выразите выходную экспоненту через входные операторы и вычислите $\chi_{W,o}$ усреднением по входной плотности. (d) Для вещественных положительных $\mu,\nu$ найдите из (c) распределения выходных квадратур $(a_o+a_o^\dagger)/2$ и $(a_o-a_o^\dagger)/(2j)$.