Тепловое число фотонов в оптоволоконной моде

Рассмотрим моду $ae^{-j\omega t}/\sqrt{AT_0}$ квантованного поля на участке площади $A$ в плоскости $z=0$ и при $0\le t\le T_0$. При тепловом равновесии вероятности числовых состояний $P_n$ максимизируют энтропию $S=-\sum_nP_n\ln P_n$ при заданной средней энергии над вакуумом $E=\sum_n\hbar\omega nP_n$. (a) Введите $F=S+\lambda_1(1-\sum_nP_n)+\lambda_2(E-\sum_n\hbar\omega nP_n)$. Покажите, как условная максимизация $S$ сводится к задаче с множителями Лагранжа. (b) Получите $P_n=e^{-(1+\lambda_1+n\hbar\omega\lambda_2)}$, где множители обеспечивают ограничения. (c) Из нормировки исключите $\lambda_1$. (d) Найдите $E$ через $\hbar\omega,\lambda_2$. (e) При $\lambda_2=1/(kT)$ с $k=1.38\cdot10^{-23}$ Дж/К получается закон Планка. Вычислите среднее число фотонов $N=E/(\hbar\omega)$ при $\lambda=2\pi c/\omega=1.55$ мкм и $T=290$ К. (f) Покажите $P_n=N^n/(N+1)^{n+1}$.