Точность передачи поляризации через классическое сообщение

У Чарли один фотон с поляризацией $|\psi_C\rangle=\alpha|H\rangle+\beta|V\rangle$, $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. Боб слишком далеко для надёжной оптоволоконной передачи фотона. Поэтому Алиса рядом с Чарли измеряет поляризацию в базисе $H,V$ поляризационным разделителем и идеальными фотодетекторами на рисунке. Она сообщает исход по классическому каналу, и Боб готовит соответствующий фотон $|H\rangle$ или $|V\rangle$. (a) Выразите условные вероятности двух состояний Боба через $\alpha,\beta$. (b) Найдите оператор плотности $\rho_B(\alpha,\beta)$. (c) Найдите точность передачи $F(\alpha,\beta)=\langle\psi_C|\rho_B|\psi_C\rangle$. (d) Пусть исходное состояние равномерно распределено на сфере Пуанкаре, то есть $\mathbf r=(2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta),2\operatorname{Im}(\alpha^*\beta),|\alpha|^2-|\beta|^2)$ равномерно распределён на единичной сфере. Вычислите численно среднюю точность $\bar F=\int F\,d\Omega/(4\pi)$. Можно выразить $F$ через $\mathbf r$ и провести интегрирование в сферических координатах.