Гетеродинное измерение и повторная подготовка состояния

Чарли хочет передать Бобу одну моду в состоянии $|\psi_C\rangle$. Для надёжной квантовой передачи расстояние слишком велико. Алиса рядом с Чарли делает балансное гетеродинное измерение — операторнозначное измерение, соответствующее оператору уничтожения $a_C$. Она передаёт комплексный результат $\alpha$ Бобу классическим сообщением, и он готовит когерентное состояние $|\alpha\rangle$. (a) Найдите совместную плотность $p(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Im}\alpha)$ в зависимости от $|\psi_C\rangle$. (b) Запишите $\rho_B$ в $P$-представлении. (c) Выразите $F=\langle\psi_C|\rho_B|\psi_C\rangle$ в виде интеграла. (d) При когерентном входе $|\alpha_C\rangle$ вычислите точность численно. Можно воспользоваться $\int_{\mathbb R}e^{-A(x-b)^2}dx=\sqrt{\pi/A}$ для $A>0$.