Оптимальное различение двух равновероятных чистых состояний

Система равновероятно приготовлена в одном из различных чистых состояний $\psi_{-1},\psi_1$. На их линейной оболочке измеряется $D=|d_1\rangle\langle d_1|-|d_{-1}\rangle\langle d_{-1}|$, где кеты $d_j$ ортонормированы. Исход $j$ означает решение, что до измерения система была в $\psi_j$. (a) Найдите вероятности обоих ошибочных решений при заданном входе и общую вероятность ошибки. (b) При ортогональных исходных состояниях найдите оптимальные собственные кеты измерения. (c) Для ортонормированных $x,y$ пусть $\psi_{\mp1}=\cos\theta\,x\mp\sin\theta\,y$, $0<\theta<\pi/4$. Запишите $d_{-1}=\cos\phi\,x-\sin\phi\,y$, $d_1=\sin\phi\,x+\cos\phi\,y$, $0\le\phi<2\pi$. Найдите $\phi$ и кеты, минимизирующие вероятность ошибки. Подсказка: тригонометрические тождества дают $P_e=[1-\sin(2\phi)\sin(2\theta)]/2$.