Двоичные оптические сигналы и минимальная ошибка

Одна оптическая мода с оператором уничтожения $a$ приготовлена в одном из двух равновероятных состояний $\psi_{-1},\psi_1$. (a) Для различных числовых состояний $|n_{-1}\rangle,|n_1\rangle$ покажите, что измерение $N=a^\dagger a$ даёт безошибочное решение. (b) Для когерентных входов с $\langle\alpha_{-1}|\alpha_1\rangle=\cos2\theta$, $0<\theta<\pi/4$, найдите минимальную вероятность ошибки. (c) Вычислите её при передаче $|0\rangle$ или $|\sqrt N\rangle$ и сравните с подсчётом фотонов: ноль означает решение в пользу вакуума, ненулевой результат — в пользу сигнала. (d) Для двоичной фазовой манипуляции $|-\sqrt N\rangle,|\sqrt N\rangle$ сравните оптимальный приём с гомодинным измерением $\operatorname{Re}a$, где отрицательный результат соответствует первому сигналу. Используйте $Q(x)=\int_x^\infty e^{-t^2/2}dt/\sqrt{2\pi}$. Для обоих сравнений можно сначала вычислить условные вероятности ошибок и затем их среднее.