Охлаждение иона на красной боковой полосе

Рассмотрим охлаждение двухуровневого иона в одномерной гармонической ловушке. (a) Взаимодействие $H_I=\hbar\Omega(\sigma_++\sigma_-)\cos(k\hat x-\omega t)$, масса $m$, частота движения $\nu$, $\eta=kx_0\ll1$, $x_0=\sqrt{\hbar/(2m\nu)}$. Разложите $H_I$ до первого порядка по $\eta$ и перейдите в систему $H_0=\hbar\omega_0\sigma_z/2+\hbar\nu a^\dagger a$, где $\sigma_+=|e\rangle\langle g|$, $\sigma_-=\sigma_+^\dagger$, $\sigma_z=|e\rangle\langle e|-|g\rangle\langle g|$. Найдите частоты Раби для $|n,g\rangle\to|n-1,e\rangle$ и $|n,g\rangle\to|n+1,e\rangle$. (b) При слабом лазере $\Omega\ll\Gamma$ и быстром распаде когерентностей запишите уравнение для населённостей $p_n$: $\dot p_n=nA_+p_{n-1}+(n+1)A_-p_{n+1}-[(n+1)A_++nA_-]p_n$. Каждому изменению на один квант отвечают два пути: изменение при поглощении либо при спонтанном испускании. Найдите $A_\pm$. (c) Выведите и решите уравнение для $\langle n\rangle=\sum np_n$. Каковы установившаяся температура и время охлаждения при $A_->A_+$, $\Gamma\ll\nu$, $\delta=-\nu$? (d) Для $^{88}$Sr на переходе $S_{1/2}\to D_{5/2}$ возьмите $\nu=2\pi\times10$ МГц, $\Gamma=2\pi\times0.4$ Гц, $k=2\pi/(674\ {\rm нм})$, $\Omega=2\pi\times0.04$ Гц. Вычислите установившуюся температуру и постоянную времени. Электрические шумы нагревают ион на тысячи квантов в секунду. Повторите расчёт после уширения $D_{5/2}$ посредством слабой связи с быстро распадающимся $P_{3/2}$, при $\Gamma=2\pi\times100$ кГц, $\Omega=2\pi\times10$ кГц.